Будьте здоровы!

Что такое рациональное число пример



что такое рациональное число пример

Натуральные числа

Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

с - это всегда натуральное число.

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с - это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.

Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

ГЛАВА II. Рациональные числа

§ 1. Определение рациональных чисел

Как мы уже видели, множество натуральных чисел

замкнуто относительно сложения и умножения, а множество целых чисел

замкнуто относительно сложения, умножения и вычитания. Однако ни одно из этих множеств не замкнуто относительно деления, поскольку деление целых чисел может привести к дробям, как, например, в случаях 4/3, 7/6, —2/5 и т.д. Совокупность всех таких дробей образует множество рациональных чисел. Таким образом, рациональное число (рациональная дробь) есть такое число, которое можно представить в виде , где а и d — целые числа, причем d не равно нулю. Сделаем по поводу этого определения несколько замечаний.

1) Мы потребовали, чтобы d было отлично от нуля. Это требование (математически записываемое неравенством ) необходимо, поскольку здесь d является делителем. Рассмотрим следующие примеры:

В случае 1 d является делителем в смысле предыдущей главы, т. е. 7 есть точный делитель 21, В случае 2 d по-прежнему является делителем, но уже в другом смысле, поскольку 7 не есть точный делитель 25.

Если 25 назвать делимым, а 7 — делителем, то мы получим частное 3 и остаток 4. Итак, слово делитель используется здесь в более общем смысле и применимо к большему числу случаев, чем в гл. I. Однако в случаях, подобных случаю 1, должно оставаться применимым понятие делителя, введенное в гл. I; поэтому необходимо, как и в гл. I, исключить возможность d = 0.

2) Отметим, что, в то время как выражения рациональное число и рациональная дробь являются синонимами, само по себе слово дробь используется для обозначения любого алгебраического выражения, состоящего из числителя и знаменателя, как, например,

3) В определение рационального числа входит выражение «число, которое можно представить в виде , где а и d — целые числа и . Почему его нельзя заменить выражением «число вида , где а и d — целые числа и Причиной этому является то обстоятельство, что существует бесконечно много способов выражения одной и той же дроби (например, 2/3 можно также записать, как 4/6, 6/9, или или 213/33, или и т. п.), и нам желательно, чтобы наше определение рационального числа не зависело от частного способа его выражения.

Дробь определяется таким образом, что ее значение не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число. Однако не всегда можно сказать, просто посмотрев на данную дробь, является она рациональной или нет. Рассмотрим, например, числа

Ни одно из них в выбранной нами записи не имеет вида , где а и d — целые числа.

Мы можем, однако, произвести над первой дробью ряд арифметических преобразований и получить

Таким образом, мы приходим к дроби, равной исходу ной дроби, для которой . Число следовательно, рационально, но оно не было бы рациональным, если бы определение рационального числа требовало бы, чтобы число имело вид а/b, где а и b — целые числа. В случае дроби преобразования

приводят к числу . В последующих главах мы узнаем, что число не может быть представлено как отношение двух целых чисел и, следовательно, оно не рационально или, как говорят, иррационально.

4) Отметим, что всякое целое число рационально. Как мы только что видели, это верно в случае числа 2. В общем случае произвольных целых чисел можно, аналогично, приписать каждому из них знаменатель, равный 1, и получить их представление в виде рациональных дробей:

Упражнения

1. Доказать, что число 2 может быть записано в виде, рациональной дроби (с целыми ) бесконечным числом способов.

2. Доказать, что рациональное число может быть записано в виде рациональной дроби бесконечным числом способов.

3. Доказать, что число 0 может быть записано в виде рациональной дроби бесконечным числом способов.

4. Доказать, что каждое рациональное число имеет бесконечно много различных представлений в виде рациональной дроби.

5. Определение. Пусть k — произвольное число. Обратным к k называется такое число что 1. Из этого определения вытекает, что все числа, исключая 0, имеют обратные. Если дано число то, по определению, обратное к нему число удовлетворяет уравнению Отсюда

(Это выражение имеет смысл лишь при ) Доказать, что обратное к любому рациональному числу (отличному от нуля) есть число рациональное.

Что такое рациональные числа? Какие бывают еще?

Что такое рациональные числа? Старшие школьники и студенты математических специальностей, вероятно, с легкостью ответят на этот вопрос. А вот тем, кто по профессии далек от этого, будет сложнее. Что же это на самом деле такое?

Сущность и обозначение

Под рациональными числами подразумевают такие, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби. Положительные, отрицательные, а также ноль тоже входят в это множество. Числитель дроби при этом должен быть целым, а знаменатель - представлять собой натуральное число.

Это множество в математике обозначается как Q и называется полем рациональных чисел . Туда входят все целые и натуральные, обозначающиеся соответственно как Z и N. Само же множество Q входит в множество R. Именно этой буквой обозначают так называемые вещественные или действительные числа.

Представление

Как уже было сказано, рациональные числа - это множество, в которое входят все целые и дробные значения. Они могут быть представлены в разных формах. Во-первых, в виде обыкновенной дроби: 5/7, 1/5, 11/15 и т. д. Разумеется, целые числа также могут быть записаны в подобном виде: 6/2, 15/5, 0/1, -10/2 и т. д. Во-вторых, еще один вид представления - десятичная дробь с конечной дробной частью: 0,01, -15,001006 и т. д. Это, пожалуй, одна из наиболее часто встречающихся форм.

Но есть еще и третья - периодическая дробь. Такой вид встречается не очень часто, но все же используется. Например, дробь 10/3 может быть записана как 3,33333. или 3,(3). При этом различные представления будут считаться аналогичными числами. Так же будут называться и равные между собой дроби, например 3/5 и 6/10. Похоже, что стало ясно, что такое рациональные числа. Но почему для их обозначения используют именно этот термин?

Происхождение названия

Слово рациональный в современном русском языке в общем случае несет немного другое значение. Это скорее разумный , обдуманный . Но математические термины близки к прямому смыслу этого заимствованного слова. В латыни ratio - это отношение , дробь или деление . Таким образом, название отражает сущность того, что такое рациональные числа. Впрочем, и второе значение недалеко ушло от истины.

Действия с ними

При решении математических задач мы постоянно сталкиваемся с рациональными числами, сами не зная этого. И они обладают рядом интересных свойств. Все они следуют либо из определения множества, либо из действий.

Во-первых, рациональные числа обладают свойством отношения порядка. Это означает, что между двумя числами может существовать только одно соотношение - они либо равны друг другу, либо одно больше или меньше другого. Т. е.:

Кроме того, из этого свойства также вытекает транзитивность соотношения. То есть если a больше b. b больше c. то a больше c. На языке математики это выглядит следующим образом:

Во-вторых, существуют арифметические действия с рациональными числами, то есть сложение, вычитание, деление и, разумеется, умножение. При этом в процессе преобразований можно также выделить ряд свойств.

Когда же речь идет об обыкновенных, а не десятичных, дробях или целых числах, действия с ними могут вызывать определенные трудности. Так, сложение и вычитание возможны только при равенстве знаменателей. Если они изначально различны, следует найти общий, используя умножение всей дроби на те или иные числа. Сравнение также чаще всего возможно только при соблюдении этого условия.

Деление и перемножение обыкновенных дробей производятся в соответствии с достаточно простыми правилами. Приведение к общему знаменателю не нужно. Отдельно перемножаются числители и знаменатели, при этом в процессе выполнения действия по возможности дробь нужно максимально сократить и упростить.

Что касается деления, то это действие аналогично первому с небольшой разницей. Для второй дроби следует найти обратную, то есть перевернуть ее. Таким образом, числитель первой дроби нужно будет перемножить со знаменателем второй и наоборот.

Наконец, еще одно свойство, присущее рациональным числам, называют аксиомой Архимеда. Часто в литературе также встречается название принцип . Он действителен для всего множества действительных чисел, однако не везде. Так, этот принцип не действует для некоторых совокупностей рациональных функций. По сути же, эта аксиома означает, что при существовании двух величин a и b всегда можно взять достаточное количество a, чтобы превзойти b.

Область применения

Итак, тем, кто узнал или вспомнил, что такое рациональные числа, становится ясно, что они используются повсеместно: в бухгалтерии, экономике, статистике, физике, химии и других науках. Естественно, также место им есть в математике. Не всегда зная, что имеем дело с ними, мы постоянно используем рациональные числа. Еще маленькие дети, учась считать предметы, разрезая на части яблоко или выполняя другие простые действия, сталкиваются с ними. Они буквально нас окружают. И все же для решения некоторых задач их недостаточно, в частности, на примере теоремы Пифагора можно понять необходимость введения понятия иррациональных чисел.

Источники: http://www.sbp-program.ru/shkolnaya-algebra/chisla.htm, http://stu.sernam.ru/book_dr.php?id=10, http://fb.ru/article/138271/chto-takoe-ratsionalnyie-chisla-kakie-byivayut-esche




Комментариев пока нет!

Поделитесь своим мнением

Интересное на сайте

Киста гайморовой пазухи симптомы лечение

киста гайморовой пазухи симптомы лечение Киста гайморовой пазухи Киста далее...

Дуодено гастральный рефлюкс лечение народными средствами

дуодено гастральный рефлюкс лечение народными средствами Гастральный далее...

Тахикардия сердца что это такое

тахикардия сердца что это такое Все о далее...

Наиболее читаемое

Можно ли есть хурму при диабете

можно ли есть хурму при диабете Хурма при далее...

Частый стул у взрослого причины и лечение

частый стул у взрослого причины и лечение Стул далее...

Диета при гастрите с повышенной кислотностью

диета при гастрите с повышенной кислотностью Диета при далее...

Климаксы у женщин симптомы возраст лечение

климаксы у женщин симптомы возраст лечение Климаксы далее...